Funciones o símbolos de conmutación

La presente publicación es con el objetivo de exponer el origen y la aplicación de los diferentes símbolos conmutativos usados por los actuarios.

ÍNDICE

I. TABLAS DE MORTALIDAD
1. Introducción
2. La interpretación determinista
3. Construcción de tablas de mortalidad
II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
III. RENTAS VITALICIAS
1. Rentas constantes
2. Rentas variables
IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO

I. TABLAS DE MORTALIDAD

1. Introducción
Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo concreto fallezca en un determinado período depende de muchos factores, como por ejemplo su edad, sexo, estado de salud, factores genéticos y ambientales, etc. En efecto, es evidente que la mortalidad aumenta con la edad. También se sabe que la mortalidad femenina, a igualdad de los restantes factores, es inferior a la masculina.

Por otro lado, las estadísticas y censos relativos a una población suelen registrar las edades y el sexo de sus componentes, pero no su estado de saludad ni su posible exposición a factores de riesgo genéticos o ambientales. Además, si la población es suficientemente grande entonces el principal factor determinante de la mortalidad resulta ser la edad de los individuos. Por esta razón, hemos considerado únicamente la edad como factor determinante de la mortalidad. Llamaremos población homogénea a una población en la que se verifique la propiedad anterior.

Una tabla de mortalidad contiene los elementos básicos que permiten calcular las probabilidades de muerte y supervivencia en una población homogénea, a partir de las cuales se llevan a cabo los cálculos actuariales.

2. La interpretación determinista
Los principales valores que aparecen en una tabla de mortalidad son: q_x, l_x y d_x , donde el primero resulta ser la probabilidad de que un individuo de edad x muera en el transcurso de un año, y los dos siguientes son, respectivamente, el número medio de individuos vivos a la edad x y el número medio de individuos que fallecen entre las edades x y x+1, de un colectivo inicial de l₀ recién nacidos. Se trata, por tanto, de probabilidades y de esperanzas matemáticas asociadas con ciertas variables aleatorias. Por esta razón, la interpretación anterior (que es la correcta) se le suele denominar interpretación estocástica de la tabla de mortalidad.

Existe asimismo una forma alternativa y sencilla de interpretar una tabla de mortalidad, según la cual los valores de las l_x coinciden exactamente con el número de individuos del colectivo inicial de l₀ recién nacidos que alcanzan con vida las distintas edades. Según esta interpretación, d_x sería el número exacto de individuos del colectivo inicial de l₀  recién nacidos que fallecen entre las edades x y x+1. Asimismo q_x se interpreta como la proporción de individuos del colectivo inicial de l₀ recién nacidos que habiendo alcanzado con vida la edad x mueren antes de cumplir un año más. Observemos que las probabilidades y esperanzas matemáticas de la interpretación estocástica se han convertido en proporciones y valores exactos. Por esta razón se habla de la interpretación determinista (o clásica) de la tabla de mortalidad.

3. Construcción de tablas de mortalidad
En la práctica, casi todas las tablas de mortalidad se construyen estimando en primer lugar la columna de los tantos de mortalidad q_x , y calculando posteriormente las demás. Como es natural, las probabilidades q_x se estiman a partir de las frecuencias relativas de los mismos sucesos. Es necesario, por tanto, considerar para cada x un gran número de individuos de esa edad, y contabilizar cuántos de ellos mueren en el transcurso de un año. Los datos necesarios se pueden obtener del Censo y de las estadísticas de defunciones del Registro Civil.

Las estimaciones obtenidas de esta forma no suelen ser muy fiables, ya que los datos de partida pueden estar afectados por diversos tipos de errores. También pueden presentar picos o altibajos atribuibles exclusivamente al azar. Asimismo, tanto los censos como los registros de defunciones suelen sufrir sesgos en la declaración de la edad, ya que a menudo se observa que abundan más las edades terminadas en 0 ó 5 que las edades restantes. Por estas razones se procede, en una segunda fase, a suavizar los datos originales, es decir, a sustituir los valores brutos de los q_x por nuevos valores que presenten un desarrollo más regular, sin altibajos y saltos injustificables.

Existen técnicas estadísticas específicas para suavizar series de datos, siendo quizás la más conocida la técnica de las medias móviles, sin embargo, los actuarios suelen preferir suavizar los valores brutos mediante el ajuste de alguna función matemática que resulte adecuada para representar la mortalidad. Lo más habitual es recurrir a la expresión de alguna fuerza de mortalidad teórica, y ajustar sus parámetros por el método de los mínimos cuadrados, es decir, de forma que se minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores brutos de los q_x y los correspondientes valores ajustados. Para edades adultas es habitual considerar la ley de mortalidad de Makeham o alguna otra parecida pero con mayor número de parámetros.

En la práctica, los ajustes suelen llevarse a cabo por tramos de edad. Como mínimo es habitual distinguir tres tramos, uno para las edades infantiles, otro para las edades adultas y un tercero para las edades seniles.

Una vez que se dispone de los valores ajustados de los tantos de mortalidad q_x se procede a calcular los demás elementos de la tabla.

Podemos decir entonces que la tabla de mortalidad es un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida. Es por consiguiente una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos.

La tabla está compuesta por columnas, unas con letras minúsculas y otras con mayúsculas.

Columnas con letras minúsculas

Variable “x”: Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Generalmente comienza a la edad cero (0), recién nacidos o que no han cumplido un año de edad, y termina en una edad extrema de la tabla, a partir de la cual no hay sobrevivientes y se denota como (omega)

Función “ qx”: Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ px”: Indica la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ lx”: Indica el número de sobrevivientes a cada edad x. Generalmente, a la edad inicial, comienza por un número redondo, tal como 10 millones, 1 millón o 100 mil sobrevivientes, los cuales van reduciéndose año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número mínimo de sobrevivientes a la edad (-1), o sea, l-1 son los sobrevivientes que están destinados a fallecer a esa edad, es decir, de no alcanzar la edad .

Función “ dx ”: Indica el número de personas que fallecen a la edad x o el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el siguiente aniversario.

Columnas con letras mayúsculas

Corresponden a los llamados símbolos de conmutación, es decir, a unas relaciones de artificios matemáticos que facilitan enormemente los cálculos actuariales. Estos símbolos no obedecen a nada conceptual, pero que combinados con factores financieros a una determinada tasa de interés anual conducen a obtener valores que ayudan a determinar fórmulas actuariales de fácil desarrollo y comprensión. En los siguientes acápites iremos abordando cada uno de éstos conmutativos.

Finalmente, cabe señalar que las tablas de mortalidad varían según las características y la cantidad de masa humana utilizada en la observación estadística y pueden ser: tablas de población general o de censos nacionales, tablas de asegurados, que son las usadas por las entidades de seguros, en la hipótesis de que todos o la mayor parte de los asegurados son personas seleccionadas, es decir, sometidas a exámenes médicos, cuando se trata de seguros para el caso de muerte. También hay tablas que separan a los asegurados por sexos, como también hay tablas especiales usadas sólo para el caso de vida como son los rentistas.

II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
En este acápite abordaremos uno de los temas fundamentales de la matemática de los seguros de vida: la valoración actual de capitales futuros cuya cuantía y/o vencimiento dependen del acaecimiento de un suceso aleatorio, en este caso, la supervivencia de una persona.

Para realizar dichas valoraciones son necesarias bases técnicas que informen de la ley financiera y tipo de interés empleado y también de las probabilidades de los sucesos.

En cuanto a la ley financiera, emplearemos la de capitalización compuesta; el tipo de interés utilizado en los cálculos actuariales se denomina interés técnico, que no coincide necesariamente con el tipo de interés de mercado y es la rentabilidad que el segurador garantiza en sus operaciones de seguro; por último, las tablas de mortalidad nos proporcionarán las citadas probabilidades.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si sobrevive dentro de n años, es decir, si alcanza la edad x+n. La prima neta única que debería pagar sería:

La fórmula anterior es lo que se conoce como factor de actualización actuarial o factor demográfico financiero, el que naturalmente es menor que el factor de actualización financiero puro vⁿ, precisamente por el riesgo de que al fallecer antes no recibiría el capital esperado. Se interpreta también como la prima neta única de un seguro dotal puro (capital diferido) que tendría que pagar una persona de edad x para recibir una suma asegurada de 1 unidad monetaria dentro de n años si sobrevive.

III. RENTAS VITALICIAS
Las rentas vitalicias se definen como un conjunto de capitales con vencimientos determinados cuya exigencia o pago se produce si en ellos se encuentra con vida una cabeza determinada. Pueden clasificarse en rentas constantes o rentas variables.

1. Rentas constantes
Se refieren a las rentas cuyos montos son iguales. Se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. La tarea como actuarios es calcular el valor actual de dichas rentas, el cual consiste en la prima neta única que debe satisfacer hoy una persona que desea percibir una renta anual mientras viva, en cualesquiera de las clases indicadas anteriormente. A continuación veamos el cálculo mencionado tomando de referencia una renta de 1 unidad monetaria:

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de rentas, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

Como resultado de la observación, podemos establecer una regla mediante la cual los subíndices de las fórmulas expresan por sí solos lo siguiente:

– El subíndice de todos los denominadores indica la edad en que fue contratada la renta.
-El subíndice del único o primer término del numerador indica la edad en que se comienza a percibir o pagar la renta.
-Sólo en rentas temporales, el subíndice del segundo término del numerador indica la edad en que se deja de percibir o pagar la renta.

2. Rentas variables
Se refieren a las rentas cuyos montos no son iguales, los cuales pueden incrementar en progresión aritmética o geométrica. Al igual que las constantes, se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. Para calcular el valor actual de dichas rentas, es necesario definir un nuevo conmutativo:

Entonces, las primas netas únicas de las rentas variables, tanto en progresión aritmética como geométrica son:

Rentas variables en progresión aritmética:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…}. Su valor actual actuarial sería:

Rentas variables en progresión geométrica:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión geométrica, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c*(1+h), el tercero c*〖(1+h)〗^2…; esto es, C={c,c*(1+h),c*〖(1+h)〗^2,…}. En este caso hay que modificar la tasa de interés técnico i por la siguiente:

También existe una segunda opción, y es la de modificar el factor de descuento financiero v en lugar de la tasa de interés técnico i. La fórmula sería:

Con lo anterior, el valor actual actuarial de dichas rentas sería:

IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO
En este acápite abordaremos los seguros tradicionales de vida individual, caracterizados porque el pago del capital estipulado en el contrato depende de la supervivencia o fallecimiento del asegurado. Los seguros tradicionales son: Vida entera, Temporales y Dotales.

Seguro de Vida Entera: Proporciona protección para toda la vida del asegurado, la póliza vence para su pago sólo en caso de fallecimiento de la persona asegurada, cualquiera que sea la fecha en que el asegurado fallezca.

Seguros Temporales: Una póliza temporal es aquella bajo la cual la suma asegurada es pagadera solamente si la persona asegurada muere dentro del período establecido.

Seguros Dotales: Otra modalidad de los planes dotales es el dotal o Dotal Mixto que establece el pago de la suma asegurada en caso de muerte o sobrevivencia del asegurado, es decir, es la suma de un temporal y un dotal puro.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si su deceso se produce dentro del año, es decir, antes de alcanzar la edad x+1. La prima neta única que debería pagar sería:

La fórmula anterior corresponde a la prima neta única de un seguro temporal a un año que tendría que pagar una persona de edad x para que el beneficiario reciba una suma asegurada de 1 unidad monetaria si no sobrevive.

Ahora procederemos a calcular la prima neta única de los seguros de vida antes enunciados:

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de seguros, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

Seguros de vida con variación de suma asegurada en progresión aritmética:
Sea un seguro de vida individual cuyo capital asegurado varía en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…,c+(ω-x-1)h}.

Entonces, las primas netas únicas de cada uno de los seguros de vida individual tradicionales son:

Bibliografía:
-Gil Fana, José Antonio; Heras Martínez, Antonio; Vilar Zanón, José Luis. Matemática de los seguros de vida. Fundación Mapfre.
-E. Palacios, Hugo. Introducción al cálculo actuarial. Mapfre.