Evolución de los métodos cuantitativos económico-financiero-actuariales

Hace unos días encontré en internet un artículo muy interesante sobre la evolución de métodos cuantitativos aplicados en nuestra profesión, por lo que se los comparto a continuación:

Autores:

Julio G. Villalón. F.de Cc. Económicas. Universidad de Valladolid.

Antonio Seijas Macías. F. de Economía e Empresa. Universidade da  Coruña

ÍNDICE

I. RESUMEN
II. INTRODUCCIÓN
III. MÉTODOS CUANTITATIVOS ECONÓMICO FINANCIERO ACTUARIALES
IV. RELACIONES DEL CÁLCULO CLÁSICO CON EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO
V. CONCLUSIONES


 I. RESUMEN

Los métodos cuantitativos económico-financiero-actuariales han experimentado un gran avance a lo largo del tiempo. Los economistas se han visto obligados a aplicar, de forma creciente, nuevos métodos para resolver los distintos problemas que han ido apareciendo y la relación de tales problemas aumenta continuamente. La habilidad de los economistas para plantear los problemas, refleja un cuerpo de teoría bien desarrollado, modos de análisis que enfatizan la lógica e instrumentos cuantitativos sofisticados.

Las  Matemáticas  y  la  Estadística en el ámbito económico-financiero-actuarial,  han jugado un papel central en el análisis económico, lo que ha proporcionado un mayor avance en el campo, particularmente financiero, al permitir a los economistas establecer rigurosamente sus teoremas y a contrastar la validez empírica de sus teorías.

Por  lo  que  se  refiere  a  la  Teoría  Financiera,  hace  más  de  50  años,  ésta  se  reducía  en términos generales, a un solo aspecto: Cálculo de los valores financiero actuariales. Ahora bien, los  economistas  financieros comenzaron  a  utilizar  una  gran  variedad  de  técnicas  estadísticomatemáticas cada vez más sofisticadas como: Teoría de la Probabilidad, Optimización, Procesos Estocásticos, Cálculo Estocástico, Ecuaciones Diferenciales Estocásticas, etc.

Pues  bien,  el  trabajo  que  presentamos  hace  referencia  a  la  evolución  de  las  técnicas matemáticas y sus aplicaciones, anteriormente mencionadas.


II. INTRODUCCIÓN

Después  de  hacer  algunas  referencias  a  la  evolución  de la ciencia  económico-financiero-actuarial a lo largo del tiempo, consideramos que para modelar y analizar el comportamiento  de  los  fenómenos  económicos  en  ambiente  de  incertidumbre, modernamente se vienen utilizando diversos métodos del cálculo estocástico como son la  integral  estocástica,el  Lema  de  Itô,  las  ecuaciones  diferenciales  estocásticas,  la estabilidad  estocástica  y  el  control  óptimo  estocástico,algunos  de  tales  aspectos consideramos a continuación.


III. MÉTODOS CUANTITATIVOS ECONÓMICO FINANCIERO ACTUARIALES

La  Ciencia  Financiero  Actuarial  en  su  nacimiento  en  el  siglo  XVII  se  dedicó fundamentalmente  a  las  operaciones  del  seguro  de  vida:  Cálculo  de  primas  para  las operaciones de rentas, capitales diferidos de supervivencia nex y operaciones de los seguros  de  vida  entera primas-unicas.  Pronto  se  vio  que  eran  necesarias  las  técnicas financiero actuariales para calcular las reservas matemáticas reservas-matematicas. En este aspecto, la ciencia financiero actuarial mostró los primeros rudimentos del cálculo estocástico hace más de un siglo. Las ecuaciones diferenciales para las reservas de una póliza del seguro de vida las obtuvo T. Nicolai Thiele en 1875 y para la probabilidad de ruina eventual de un  seguro  de  vida,  Filip  Lundberg  en  1903,  en  momentos  en  los  que  la  noción  de proceso estocástico no se había definido de forma concreta.

Aparte de su trabajo práctico en el “seguro de vida” y su tesis doctoral en 1903, Filip Lundberg (1876-1965) fue pionero en el seguro de enfermedad, utilizó la técnica del seguro de vida para la obtención de la reserva. Así mismo, fue pionero en el campo del reaseguro y de la “Swedish Actuarial Society” en 1904. Creó su original “Collective Risk Theory” publicada en sueco en 1906 y 1926 y en alemán en 1909 y 1930. En su tesis doctoral consideró ya la descripción “estocástica” de la corriente de pagos como un proceso  de  Poisson  compuesto.  Donde  los  momentos  de  los  pagos  constituían  un “Proceso  de  Poisson”  en  el  tiempo;  las  cantidades  sucesivas  pagadas  eran independientemente obtenidas de una distribución de la masa de riesgo. Probablemente este  fue  el  primer  ejemplo  en  el  cual  se  introdujo  y,  a  parte  del  trabajo  de  Louis Bachelier en 1990 y el Erlang en 1909, constituyen un ejemplo pionero importante de la definición y uso de los procesos estocásticos en tiempo-continuo. En la tesis, prueba el Teorema Central del Límite para los procesos, utilizando de forma original la ecuación de  futuro  para  la  función  de  distribución  del  proceso,  es  decir,  Lundberg  introdujo  el “proceso  de  riesgo”  que  describía  el  superávit,  donde  los  ingresos  eran  continuos  al tanto dado por la prima y el desembolso era un “proceso de Poisson compuesto”. Para este  proceso,  consideró  la  “probabilidad  de  ruina”,  probabilidad  de  que  el  resultado fuera negativo, como función del resultado inicial, el tanto de prima y la distribución de la masa de riesgo. Hay una ecuación integral para la probabilidad de ruina, que se utiliza para deducir la famosa desigualdad de Lundberg”:ruina, donde u es el superávit  y R es  el  “coeficiente  de  ajuste”,  una  medida  de  la  dispersión  de  la distribución de la masa de riesgo.

Por otra parte, Harald Cramer (1955) estudió la “Teoría del riesgo” consistente en  el  análisis  matemático  de  las  fluctuaciones  aleatorias  en  la  empresas  de  seguros  y discusión de los diversos medios de protección frente a sus efectos adversos.

En la “Teoría del riesgo individual”, la ganancia o pérdida de la compañía que surge durante un tiempo dado sobre una póliza se considera una variable aleatoria y el desarrollo  matemático  de  la  teoría  está  basado  en  un  estudio  de  la  distribución  de probabilidad de variables de este tipo. Las ganancias o pérdidas totales de la compañía durante el mismo tiempo será la suma de las variables aleatorias asociadas a las pólizas individuales en vigor en la compañía. De acuerdo con el Teorema Central del Límite, esta suma será aproximadamente normalmente distribuida si el número de pólizas es lo suficientemente grande y se pudiera obtener los tipos de las sumas aseguradas de todas las pólizas individuales, sería posible obtener los valores aproximados de las diversas posibilidades ligadas a las ganancias o pérdidas de la compañía bajo ciertas condiciones.

Respecto  a  la  “Teoría  del  Riesgo  Colectivo”  fundada  y  desarrollada  por  F. Lundberg en una serie de trabajos (1903/48), el riesgo empresarial de una compañía de seguros  se  consideraba  como  un  total,  como  un  juego  de  azar  continuo  entre  la compañía  y  la  totalidad  de  los  accionistas.  En  el  curso  de  este  juego,  ciertos  sucesos aleatorios:  las  “reclamaciones”  acaecen  durante  un  intervalo  de  tiempo,  tienen  que considerarse por la compañía mientras que por otra parte la compañía recibe una corriente continua  de  primas  de  riesgo  de  los  accionistas.  Mediante  ciertas  hipótesis simplificadoras, es posible estudiar las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias  fundamentales  asociadas  a  este  juego,  tal  como  el  montante  total  de  las reclamaciones que acaecen durante un intervalo de tiempo dado; la ganancia total de la Compañía que surge durante el mismo intervalo, etc.

La “Teoría del Riesgo Colectivo”, constituye una parte de la teoría general de los procesos estocásticos, que posteriormente tuvo un gran desarrollo y ha encontrado un gran número de aplicaciones importantes. Se ha demostrado que se puede presentar desde un punto de vista unificador el de la teoría de los procesos estocástico. El negocio del  riesgo  de  una  Compañía  de  seguros  constituye  un  caso  particular  de  un  proceso estocástico. El proceso de riesgo es un proceso estocástico que pertenece a la clase de los procesos estocásticos con incrementos estacionarios e independientes.

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En  el  siglo  XX,  la  revista  “Astin”,  jugó  un  papel  esencial  en  lo  relativo  a  los métodos financiero-actuariales que se habían aplicado a las operaciones de seguro no-vida (seguro  del  automóvil,  incendios,  etc.)  Emergió  una  nueva  clase  de  actuarios: “Actuarios  de  segunda  clase”,  donde  se  dio  entrada  a  las  técnicas  de  pensamiento probabilista: Actuarios vida y Actuarios no-vida. Posteriormente, un nuevo desarrollo, dio  lugar  a  la  emergencia  del  Actuario  de  la  tercera  clase,  grupo  de  expertos matemáticos  que  extendieron  sus  técnicas  a  lo  relativo  a  la  inversión  del  seguro  y Banca.

Tan pronto como pensemos respecto a la inversión en términos estocásticos se presentó  el  gran  problema  de  que:  los  riesgos  de  inversión  son  típicamente dependientes, y por tanto, desequilibrados. La contestación a este problema: como no hay  ninguna  ley  matemática  que automáticamente  equilibre  el  riesgo  de  inversión implica  crear  nuevos  instrumentos  artificiales  para  este  fin:  las  opciones  call,  put  y futuros. Por tal motivo se crearon técnicas avanzadas. La base estadística matemática debía  sustancialmente  ampliarse  para  los  economistas  financiero-actuariales,  con nociones como la teoría de los proceso estocásticos, integración estocástica, Fórmula de Itô, Fórmula de Black-Scholes. En resumidas cuentas, dar entrada al cálculo estocástico. Nueva clase de especialistas en las aplicaciones del “cálculo estocástico”.

El  término  “estocástico”  significa  “el  arte  de  suponer”.  En  primer  lugar  fue utilizado por Jacob Bernoulli en su libro “Ars Conjuctandi” en 1773 en el que probó la primera  ley  de  los  grandes  números.  Stochastic  modern  day,  es  un  dominio  de  las matemáticas  aplicadas.  Comprende,  (entre  otras,  la  Teoría  de  la  Probabilidad,  los Procesos Estocásticos y la Estadística). Se utilizan para examinar los sucesos aleatorios, desarrollos temporales y estructuras especiales tratando de encontrar las regularidades posibles.  Los  métodos  estocásticos  son  aplicables  a  todas  las  disciplinas  científicas, obteniéndose  ventajas  del  comportamiento  mediante  los  computadores  modernos.  Lo estocástico  ha  llegado  a  ser  un  instrumento  inestimable  para  las  ciencias  naturales, desarrollo tecnológico y economía.

El  cálculo  que  estudiamos  en  los  primeros  cursos  de  matemáticas  nos proporciona  los  instrumentos  analíticos  para  las  funciones  deterministas.  Ahora  bien, cuando modelamos la incertidumbre futura de un objeto, por ejemplo, el precio de un título  o  los  tantos  de  interés  a  lo  largo  del  tiempo,  estos  son  aleatorios  en  cualquier momento considerado, por tanto, son llamados proceso estocásticos.

El  cálculo  estocástico  es  el  instrumento  analítico  adecuado  para  los  procesos estocásticos.  Entonces  con  tales  instrumentos,  podemos  predecir  el  comportamiento futuro de estos aspectos y cuantificar los riesgos asociados a ellos. Esto es por lo que tiene gran importancia.

La  Teoría  de  los  Procesos  Estocásticos,  estudia  los  acontecimientos  aleatorios asociados al tiempo regidos por las leyes de probabilidad.

El cálculo estocástico se refiere a una clase específica de procesos estocásticos que son estocásticamente integrables y frecuentemente expresados como soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas.

Las primeras aplicaciones financieras de los procesos estocásticos, aparte de lo mencionado relativo a Lunberg y Cramer datan de 1900 cuando el matemático francés Louis Bachelier aplicó un proceso estocástico especial llamado movimiento Browniano o proceso de Wiener para describir los precios de los títulos en su tesis doctoral.

En 1982 Louis Bachelier llegó a París para continuar su educación universitaria en la Universidad de la Sorbonne. Allí tuvo un insigne cuadro de profesores: Paul Apell, Joseph Bousiness y Henri Poincaré. El desarrollo como científico fue bastante rápido y escribió su interesante tesis “Teoría de la Especulación” sobre la aplicación de la Teoría de la probabilidad a los mercados de títulos. Este se considera ahora históricamente el primer  intento  de  utilizar  las  matemáticas  avanzadas  en  la  matemática  financiero – actuarial y testimoniar la introducción del movimiento Browniano. De acuerdo con la tradición de la época, también defendió una segunda tesis sobre una materia elegida por la universidad sobre la mecánica de fluidos. Su título refleja el bagaje educativo de L. Bachelier “La resistencia de una masa líquida indefinida dotada de fricciones interiores regidas por las fórmulas de Navier, a los pequeños movimientos variados de traslación de  una  esfera  sólida,  sumergida  en  una  masa  y  adherente  a  la  capa  fluida  que  la contacta”.

La  primera  parte  de  la  tesis  de Louis Bachelier,  “Teoría  de  la  Especulación”, contiene una descripción detallada de los productos disponibles en aquel momento en el mercado de títulos en Francia, tales como contratos a plazo (forward) y opciones. Sus especificaciones fueron completamente diferentes de los productos correspondientes en el mercado americano; por ejemplo todos los pagos estaban relacionados con una fecha dada y no se tenía necesidad de pensar en el descuento o cambio numerario. Después de los preliminares financieros Louis Bachelier comenzó con la modelación matemática de los  movimientos  y  fórmulas  de  los  precios  de  los  títulos,  el  principio  de  que  “La esperanza del especulador fuera nula”. Obviamente, interpretaba mediante la esperanza condicionada dada por la información pasada. Es decir, implícitamente aceptaba como axioma  que  el  mercado  valoraba  los  activos  utilizando  una medida “martingala”.  La hipótesis  posterior  era  que  el  precio  evolucionaba  como  un  proceso  de  Markov continuo,  homogéneo  en  el  espacio  y  el  tiempo.  Louis  Bachelier  demostró  que  la densidad de las distribuciones unidimensionales de este proceso satisfacía la relación,ahora  conocida  como  la  ecuación  Chapman-Kolmogorov  y  observó  que  la  densidad Gaussiana  con  la  varianza  lineal  creciente  resolvía  esta  ecuación.  La  cuestión  de  la unicidad  no  se  discutía  pero  Louis  Bachelier  proporcionó  algunos  argumentos  para confirmar esta conclusión. Llegó a la misma ley considerando el proceso de los precios como  límite  de  las  trayectorias  aleatorias.  Louis  Bachelier  también  observó  que  la familia de funciones de distribución de los proceso satisfacía la ecuación del calor.

El modelo se aplicó para calcular algunos precios de las opciones. Teniendo en cuenta las opciones americanas y dependientes de la trayectoria, Louis Bachelier calculó la probabilidad de que el movimiento Browniano no excediera un nivel fijo y obtuvo la distribución del supremum del movimiento Browniano.

La tesis de Louis Bachelier se puede considerar como el origen de la “financiera matemática moderna” y de varias ramas importantes de cálculo estocástico tal como la teoría  del  movimiento  Browniano,  procesos  de  Markov  (1856-1922),  procesos  de difusión e incluso de la convergencia libre en los espacios funcionales. Evidentemente, el  razonamiento  no  fue  riguroso  pero  a  nivel  intuitivo  básicamente  correcto.  Esto  es realmente asombroso ya que a comienzos del siglo XX los fundamentos matemáticos de la  probabilidad  no  existían.  A.  Markov  comenzó  sus  estudios  sobre  lo  que  ahora llamamos cadenas de Markov en 1906 y el concepto de esperanzas condicionadas con respecto a una variable arbitraria o σ-álgebra fueron desarrollados en 1930.

El informe de Henri Poincare, firmado por P. Apell y J. Bousssines, tribunal que juzgó  la  tesis  de  Louis  Bachelier  contiene  un profundo  análisis  no  solamente  de  los resultados  matemáticos  sino  también  una  penetración  en  la  leyes  de  mercado.  En contraste  con  la  leyenda  de  que  la  nota  de  evaluación  “honorable”  significaba  algo como que los examinadores fueron escépticos respecto a la tesis, esta parece que fue la nota más alta que podía habérsele reconocido a una tesis que estaba esencialmente fuera de las matemáticas y que tenía algunos argumentos lejos de ser rigurosos. La nota de excelente” usualmente se asignaba a memorias que contenían la solución al cambiante problema en una disciplina matemática bien establecida.

Creemos  que  el  informe  mostraba  que  H. Poincare  era  un  lector  atento  y benévolo  y  su  moderada  crítica  fue  positiva.  La  crítica  que  expresó  fue  que  Louis Bachelier no estudiaba con detalle la relación descubierta de los procesos estocásticos con  las  ecuaciones  en  derivadas parciales,  podía  interpretarse  que  fue   realmente intrigado, viendo allí ulteriores perspectivas. El informe de Poincare y la conclusión fue publicar la tesis en las revistas prestigiosas de aquel tiempo, contradecía lo que algunos consideraron  como  la  decepción  de  “honorable”.  Se  podía  conjeturar  que  Louis Bachelier  no  fue  galardonado  con  la  nota  de  “muy  honorable”  debido  a  una presentación  más  débil  de  su  segunda  tesis  (pero  el  correspondiente  informe  de  P. Appell fue muy positivo).

No es necesario decir que las ideas innovadoras de Louis Bachelier estuvieron por encima del nivel prevaleciente en la teoría financiera existente en aquella época lo cual fue ciertamente percibido.

Los  notables  resultados  obtenidos  por  Louis  Bachelier  en  su  tesis  sobre  la “Teoría  de  la  Especulación”  en  1900  permanecieron  en  una  especie  de  “limbo científico” durante más de 75 años, hasta que el célebre economista premio Nóbel Paul Samuelson influenciado por el insigne profesor de estadística William Feller, corrigió a Louis Bachelier, en 1965, reemplazando el movimiento Browniano por su exponencial (geométrica),  evitando  así  obtener  como  resultados  valores  negativos  del  modelo  y,luego comenzó a jugar un papel esencial en el cálculo de los precios de las opciones mediante la famosa fórmula de Black-Scholes en 1973.

Desde  1980  se  ha  comprobado  la  explosión  de  lo  modelos  matemático financieros  junto  con  los  productos  financieros,  todos  a  su  vez  llegados  a  ser  más complejos.

Toda  esta  tecnología  existe  debido  a  que  algunos  conceptos  matemáticos financieros  simples  y  universales  han  permitido  construir  una  “Teoría  matemática financiera de las leyes de los mercados” basada en principios tales como que los precios de  un  activo  a  lo  largo  del  tiempo  tienen  la  estructura  probabilista  de  un  juego equitativo, es decir, una “martingala”. A partir de este concepto, poco a poco, se ha ido construyendo  toda  la  teoría  de  los  procesos  estocásticos,  pilar  sobre  el  cual  se  ha desarrollado  la  “Teoría  Matemática  del  Arbitraje”  por  Delbaen  y  Schahermayor  en 1994.

Desde  comienzos  de  1990,  la  matemática  y  particularmente  la  teoría  de  la probabilidad han jugado un papel creciente, en general y particularmente, en el campo económico financiero actuarial influenciado por las investigaciones de A. Kolmogorov relativas a los procesos temporales continuos.

A  partir  de  la  tesis  de  Louis  Bachelier  surgió  el  nuevo  nacimiento  de  los procesos estocásticos y, por otra parte, la estrategia de tiempo continuo para la cobertura de riesgos financieros.

Aunque Louis Bachelier estableció en su tesis la conexión entre el precio de los instrumentos financieros y algunos cálculos de probabilidad relativos a ciertos procesos estocásticos, el problema de la cobertura correspondiente al riesgo fue resuelto mediante los  trabajos  de  Black/Scholes/Merton  en  1973.  En  aquella  época  la  idea  de diversificación  estaba  vigente  debido  a  los  trabajos  pioneros  de  Markowitz  en  1952 (Nóbel de Economía en 1990) relativos a la optimización de la cartera.


IV. RELACIONES  DEL  CÁLCULO  CLÁSICO  CON  EL  CÁLCULO
ESTOCÁSTICO

Respecto de las relaciones del “Cálclulo Clásico” con el “Cálculo Estocástico” procede hacer la siguientes consideraciones.

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Ahora bien, esta relación clásica no es aplicable para las funciones reales que se presentan  en  la  Matemática  Financiera.  Cuando  el  matemático  alemán  Weierstrass construyó  una  función  real  continua,  pero  no  diferenciable  en  ninguna  parte,  esto  se consideró  como  una  curiosidad  matemática.  Desgraciadamente,  esta  “curiosidad”  está en el corazón de la Matemática Financiera. Los gráficos de los tantos de cambio, de los tantos de interés y de los activos líquidos son prácticamente continuos, como los disponibles  hoy  en  día  que  presentan  datos  de  alta  frecuencia,  pero  son  de variación  ilimitada  en  todo  el  intervalo  de  tiempo.  En  particular,  no  son diferenciables  en  ninguna  parte.  Por  tanto,  el  Cálculo  Clásico  necesita  una extensión a funciones de variación no acotada, tema estudiado por los matemáticos durante mucho tiempo.

Este déficit se cubrió mediante el desarrollo del “Cálculo Estocástico” que se  puede  considerar  como  la  teoría  de  la  diferenciación  e  integración  de  los procesos estocásticos.

Existen numeros libros recientemente publicados que desarrollan ampliamente el cálculo  estocástico  con  énfasis  sobre  las  aplicaciones  a  los  mercados  financieros  a diferentes niveles de sofisticación matemática (Föllmer y Schied, 2010).

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Esta no fue, la nuevamente aparición del segundo término, lo que creó la principal dificultad para desarrollar el Cálculo Estocástico. Para funciones de variación cuadrática finita este término F»es una integral bien definida Lebesgue-Stieltjes. El cambio real consiste en dar un significado preciso a la primera integral donde tanto el argumento del integrando y del integrador son de varición  no-acotada  sobre  todo  el  intervalo de tiempo, arbitrariamente pequeño. Esta cuestión fue resuelta en primer lugar por Itô, de ahí  el  nombre  de  la  “fórmula  de  Itô”  para  la  relación (1) y la integral  de Itô para la primera integral de la (2).

Utilizando el enfoque a lo largo de una trayectoria de Föllmer, podemos deducir la fórmula de Itô y la integral de Itô sin recurrir a la teoría  de  la  probabilidad. Observando un proceso estocástico “paso a paso”, se puede dar un significado preciso a las expresiones (1) y (2) utilizando solamente instrumentos elementales del análisis real clásico.  Solamente  se  necesita  la  teoría  de  la  probabilidad, posteriormente  cuando consideramos la acción recíproca de todas las trayectorias de los procesos estocásticos como difusiones y semimartingalas.

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Observemos que la regla de la multiplicación final es la crucial que da el término complementario.

Un  argumento  análogo,  nos  proporciona  una  regla  cuando  tenemos  varios procesos Itô basados en el mismo movimiento Browniano.

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V. CONCLUSIONES

Después de haber realizado una revisión de los métodos cuantitativos a lo largo del tiempo se observa que el Lema de Ito, es el instrumento central de la diferenciación en  el  cálculo  estocástico.  No  son  demasiadas  cuestiones  básicas  las  que  hay  que recordar  para  poder  utilizarle.  En  primer  lugar,  la  fórmula  ayuda  a  determinar  las diferenciales  estocásticas  para  los  derivados  financieros  dados  los  movimientos  del activo subyacente. En segundo lugar, las fórmulas son completamente dependientes de la definición de la integral de Ito. Esto significa que las igualdades se deben interpretar dentro de la equivalencia estocástica. Finalmente, desde un punto de vista práctico, se debe  recordar  que  las  fórmulas  estándar  utilizadas  en  el  cálculo  determinista proporcionan  resultados  significativamente  diferentes   de  los  obtenidos  mediante  el cálculo  estocástico.  En  particular,  si  se  utilizan  las  fórmulas  estándar,  esto  supondría que todos los procesos en observación tendrían volatilidad infinitesimal nula. Por otra parte, hemos visto que ésta no es una hipótesis adecuada cuando se trata de valorar el riesgo utilizando los derivados financieros.

Fuente:https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4749588.pdf

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